在数学中，三角函数是解决几何问题的重要工具。当我们遇到特殊角度如75°时，可以通过已知的三角函数值和公式推导出其对应的正弦值。那么，如何快速准确地计算sin75°呢？这里为大家提供一种简单易懂的方法。
方法一：利用加法公式
根据三角函数的加法公式：
\[
\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
\]
将75°拆分为两个特殊角45°与30°之和，即：
\[
\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ)
\]
查表或记忆得知：
\[
\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
代入公式：
\[
\sin 75^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ
\]
\[
= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)
\]
\[
= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}
\]
\[
= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
\]
因此，sin75°的值为：
\[
\boxed{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}
\]
方法二：利用倍角公式
另一种思路是通过倍角公式间接求解。首先注意到75°等于90°减去15°，即：
\[
\sin 75^\circ = \sin(90^\circ - 15^\circ) = \cos 15^\circ
\]
而cos15°可以进一步分解为cos(45°-30°)，再次应用加法公式：
\[
\cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ
\]
代入数据计算后同样得到结果：
\[
\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
\]
由此验证了sin75°的值确实为：
\[
\boxed{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}
\]
总结
无论是采用加法公式还是倍角公式，最终都能得出sin75°的结果为\(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)。这种方法不仅逻辑清晰，而且便于理解记忆，非常适合用于考试或实际问题中的快速求解。希望本文能帮助大家更好地掌握这一知识点！
