【求导公式大全高等数学】在高等数学中，求导是微积分的基础内容之一，掌握各种函数的导数公式对于解题和理解数学规律具有重要意义。本文对常见的求导公式进行总结，并以表格形式清晰展示，便于查阅与记忆。
一、基本初等函数的导数公式
| 函数表达式 | 导数 |
| $ y = C $（常数） | $ y' = 0 $ |
| $ y = x^n $（n为实数） | $ y' = nx^{n-1} $ |
| $ y = e^x $ | $ y' = e^x $ |
| $ y = a^x $（a>0, a≠1） | $ y' = a^x \ln a $ |
| $ y = \ln x $（x>0） | $ y' = \frac{1}{x} $ |
| $ y = \log_a x $（a>0, a≠1, x>0） | $ y' = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ y = \sin x $ | $ y' = \cos x $ |
| $ y = \cos x $ | $ y' = -\sin x $ |
| $ y = \tan x $ | $ y' = \sec^2 x $ |
| $ y = \cot x $ | $ y' = -\csc^2 x $ |
| $ y = \sec x $ | $ y' = \sec x \tan x $ |
| $ y = \csc x $ | $ y' = -\csc x \cot x $ |
二、复合函数的导数（链式法则）
若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
例如：
$ y = \sin(3x) $，则 $ y' = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x) $
三、反函数的导数
若 $ y = f(x) $ 的反函数为 $ x = f^{-1}(y) $，则：
$$
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \quad \text{（当 } \frac{dy}{dx} \neq 0 \text{）}
$$
四、高阶导数
对于函数 $ y = f(x) $，其二阶导数为：
$$
y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)
$$
例如：
- $ y = x^3 $，则 $ y' = 3x^2 $，$ y'' = 6x $
五、隐函数的导数
对于由方程 $ F(x, y) = 0 $ 所确定的隐函数 $ y = f(x) $，可两边对 x 求导，解出 $ \frac{dy}{dx} $。
例如：
$ x^2 + y^2 = 1 $，两边对 x 求导得：
$$
2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}
$$
六、参数方程的导数
设 $ x = x(t) $，$ y = y(t) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \quad \text{（当 } \frac{dx}{dt} \neq 0 \text{）}
$$
七、常用导数公式的应用举例
1. 多项式函数：
$ y = 2x^4 - 5x^2 + 7 $，则
$ y' = 8x^3 - 10x $
2. 指数函数：
$ y = 5e^{3x} $，则
$ y' = 15e^{3x} $
3. 对数函数：
$ y = \ln(2x+1) $，则
$ y' = \frac{2}{2x+1} $
4. 三角函数：
$ y = \sin^2 x $，利用链式法则：
$ y' = 2\sin x \cdot \cos x = \sin 2x $
总结
求导是高等数学中的核心技能之一，熟练掌握各类函数的导数公式有助于提高解题效率和理解数学本质。本文系统整理了常见函数的导数公式，并通过实例说明其应用，希望对学习者有所帮助。在实际应用中，还需结合具体问题灵活运用导数规则，如链式法则、隐函数求导等。
