【二分之一加六分之一加十二分之一加二十分之一的简便算法】在数学运算中，分数相加常常需要通分，但有时候通过观察数列的规律，可以找到更简便的计算方法。本文将以“二分之一加六分之一加十二分之一加二十分之一的简便算法”为主题，总结出一种高效的计算方式，并通过表格形式展示每一步的计算过程。
一、问题分析
题目为：
$$
\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20}
$$
首先观察每个分母的变化：
- 2 = 1×2
- 6 = 2×3
- 12 = 3×4
- 20 = 4×5
可以看出，这些分母都是两个连续自然数的乘积，即 $ n(n+1) $ 的形式。因此，每一项都可以表示为：
$$
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
$$
这个公式称为分数拆分法或裂项法，是处理此类分数和的常用技巧。
二、简便算法步骤
我们对每一项进行拆分：
| 项 | 原式 | 拆分后 |
| 第1项 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{1} - \frac{1}{2}$ |
| 第2项 | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ |
| 第3项 | $\frac{1}{12}$ | $\frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ |
| 第4项 | $\frac{1}{20}$ | $\frac{1}{4} - \frac{1}{5}$ |
将所有拆分后的项相加：
$$
\left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right)
$$
可以看到，中间的负项与后面的正项会相互抵消，最终只剩下首项的正项和末项的负项：
$$
\frac{1}{1} - \frac{1}{5} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}
$$
三、结论
通过观察分母的规律并应用分数裂项法，我们可以快速得出结果，而无需逐个通分。这种简便算法不仅节省时间，还能提高计算准确性。
四、总结表格
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 原始表达式：$\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20}$ |
| 2 | 分析分母规律：均为 $ n(n+1) $ 形式 |
| 3 | 应用裂项公式：$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ |
| 4 | 拆分各项：$\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$ |
| 5 | 中间项抵消，结果为：$1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ |
通过这种方式，我们不仅找到了答案，还理解了背后的数学逻辑，提升了运算效率与思维能力。
