在光学中，杨氏双缝实验是验证光的波动性质的经典实验之一。该实验不仅揭示了光的干涉现象，还为后续的波动光学理论奠定了基础。在这一实验中，光通过两个非常接近的狭缝后，在屏幕上形成明暗相间的条纹，这种现象称为干涉。本文将详细推导杨氏双缝干涉中光强分布的数学表达式，帮助读者更深入地理解其物理本质。
一、基本假设与模型
杨氏双缝实验的基本模型如下：光源发出的光波经过一个单缝后成为相干光源，再通过两个平行且距离极小的双缝，两束光从这两个狭缝中射出，并在远处的屏幕上发生干涉。由于双缝之间的距离远小于观察屏到双缝的距离，我们可以近似认为两束光在到达屏幕时是平行的。
设双缝之间的距离为 $ d $，屏幕到双缝的距离为 $ L $，则屏幕上某一点 $ P $ 到双缝中心的垂直距离为 $ y $，可以表示为：
$$
y = \frac{d}{2} \tan\theta
$$
当 $ L \gg d $ 时，角度 $ \theta $ 很小，因此可以用小角度近似：
$$
\tan\theta \approx \sin\theta \approx \theta
$$
从而有：
$$
y \approx \frac{d}{2} \cdot \frac{y}{L} \Rightarrow y \approx \frac{d y}{2L}
$$
不过，在实际推导中，我们通常使用光程差来分析干涉条件。
二、光程差与相位差
设两束光分别从双缝 $ S_1 $ 和 $ S_2 $ 发出，到达屏幕上的点 $ P $，它们的光程差为：
$$
\Delta = r_2 - r_1
$$
其中 $ r_1 $ 和 $ r_2 $ 分别是从 $ S_1 $ 和 $ S_2 $ 到 $ P $ 的距离。
根据几何关系，可得：
$$
\Delta = d \sin\theta
$$
对于单色光波，其频率为 $ f $，波长为 $ \lambda $，角频率为 $ \omega = 2\pi f $，波数为 $ k = \frac{2\pi}{\lambda} $。
两束光在点 $ P $ 处的电场强度分别为：
$$
E_1 = E_0 \cos(kr_1 - \omega t)
$$
$$
E_2 = E_0 \cos(kr_2 - \omega t)
$$
由于两束光的振幅相同（假设为 $ E_0 $），我们可以将它们的合成电场表示为：
$$
E = E_1 + E_2 = E_0 \left[ \cos(kr_1 - \omega t) + \cos(kr_2 - \omega t) \right]
$$
利用三角恒等式：
$$
\cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A - B}{2} \right) \cos\left( \frac{A + B}{2} \right)
$$
令 $ A = kr_1 - \omega t $，$ B = kr_2 - \omega t $，则：
$$
E = 2E_0 \cos\left( \frac{k(r_1 - r_2)}{2} \right) \cos\left( \frac{k(r_1 + r_2)}{2} - \omega t \right)
$$
注意到 $ r_1 + r_2 \approx 2L $（因为 $ L \gg d $），所以第二项中的时间部分为：
$$
\frac{k(r_1 + r_2)}{2} - \omega t \approx kL - \omega t
$$
而第一项中的 $ r_1 - r_2 = -\Delta = -d \sin\theta $，代入后得到：
$$
E = 2E_0 \cos\left( \frac{kd \sin\theta}{2} \right) \cos(kL - \omega t)
$$
三、光强分布公式
光强 $ I $ 与电场强度的平方成正比，即：
$$
I \propto |E|^2 = 4E_0^2 \cos^2\left( \frac{kd \sin\theta}{2} \right)
$$
为了进一步简化，考虑 $ \sin\theta \approx \frac{y}{L} $，则：
$$
\frac{kd \sin\theta}{2} = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{d y}{2L} = \frac{\pi d y}{\lambda L}
$$
因此，光强公式可以写为：
$$
I(y) = I_0 \cos^2\left( \frac{\pi d y}{\lambda L} \right)
$$
其中 $ I_0 = 4E_0^2 $ 是最大光强。
四、干涉条纹间距
由上述公式可知，光强随 $ y $ 周期性变化，形成明暗交替的条纹。相邻亮纹之间的距离（条纹间距）为：
$$
\Delta y = \frac{\lambda L}{d}
$$
这表明，条纹间距与波长 $ \lambda $ 成正比，与双缝间距 $ d $ 成反比，与屏幕距离 $ L $ 成正比。
五、总结
通过对杨氏双缝干涉实验的光程差和电场叠加的分析，我们得到了光强分布的表达式：
$$
I(y) = I_0 \cos^2\left( \frac{\pi d y}{\lambda L} \right)
$$
该公式揭示了干涉条纹的形成机制，并可用于预测实验中条纹的位置与间距。它是波动光学中重要的基础内容，对理解光的波动性和干涉现象具有重要意义。
