sin105 度可以利用三角函数两角和公式来计算，把 105 度拆成 60 度加 45 度，代入正弦和角公式展开，再代入特殊角正弦余弦数值化简，最终得到精确结果是四分之根号六加根号二，小数近似值大约是 0.9659，这个是高中三角函数最经典的题型，核心思路就是把非特殊角拆成两个已知特殊角相加或者相减，不用查表不用计算器，靠恒等变换算出准确根式结果，除了拆成 60 度加 45 度，也可以拆成 135 度减 30 度，两种拆分方式最后得到的结果完全一样，原理都是正弦恒等变换公式。sin105 度属于第二象限角，正弦值为正数，这个可以提前用来校验结果正负是否正确，如果算出来是负数，说明公式代入符号出错。

核心公式与拆分思路

正弦两角和公式

sin (A+B)=sinA cosB + cosA sinB

第一种拆分 105°=60°+45°

第二种拆分 105°=135°-30°，对应正弦差角公式 sin (A-B)=sinA cosB - cosA sinB

特殊角固定数值表

角度sincos
30 度二分之一二分之根号三
45 度二分之根号二二分之根号二
60 度二分之根号三二分之一
135 度二分之根号二负二分之根号二

详细计算步骤 拆分 60 度加 45 度

第一步 代入公式

sin105°=sin (60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°

第二步 填入特殊角数值

sin60°=√3/2，cos45°=√2/2，cos60°=1/2，sin45°=√2/2

第三步 代入计算

= (√3/2)×(√2/2) + (1/2)×(√2/2)

= √6/4 + √2/4

= (√6+√2)/4

第四步 换算小数近似值，√6 约等于 2.4495，√2 约等于 1.4142，相加之后除以 4，得到约 0.9659

第二种方法 拆分 135 度减 30 度验算

sin105°=sin (135°-30°)=sin135°cos30° - cos135°sin30°

代入数值

= (√2/2)×(√3/2) - (-√2/2)×(1/2)

= √6/4 + √2/4

= (√6+√2)/4

两种算法结果一致，可以确认计算正确

易错点提醒

1 符号错误，135 度的 cos 是负数，做差角的时候负负得正，很容易在这里丢符号，最后结果变成负数

2 混淆正弦和角公式，误写成 sinA cosB 减 cosA sinB，这个是差角公式，和角是加号

3 通分计算出错，两项分母都是 4，分子直接相加，不要错误把分母相乘变成 16

4 单位混淆，题目是角度制，如果是弧度制需要先转换成角度，sin105 弧度和 sin105 度完全不是同一个数值

总结

sin105 度优先采用 60 度加 45 度的和角公式展开，代入特殊三角函数值化简，得到精确根式结果 (√6+√2)/4，也可以使用 135 度减 30 度差角公式验算，计算的时候重点注意正负号，并且利用第二象限正弦为正这个性质做结果校验。

【常见问题】

问题 1 sin105 度怎么算 为什么结果是正数

回答 1 sin105 度怎么算 105 度属于第二象限角，第二象限正弦函数值恒为正，所以 sin105 度结果是正数，如果计算得到负数，说明公式代入符号出现错误。

问题 2 sin105 度怎么算 能不能用半角公式计算

回答 2 sin105 度怎么算 可以使用半角公式，105 度是 210 度的一半，因为 105 度在第二象限正弦取正，代入半角公式同样可以算出 (√6+√2)/4，只是计算步骤比两角和公式繁琐。

问题 3 sin105 度怎么算 它的余弦值是多少

回答 3 sin105 度怎么算 算出 sin105 度之后，可以利用同角平方关系求 cos105 度，105 度在第二象限余弦为负，cos105 度等于负的四分之根号六减根号二。

问题 4 sin105 度怎么算 考试可以直接写结果吗

回答 4 sin105 度怎么算 考试大题一般需要写出拆分和代入公式的推导过程，不能只写最终根式答案，填空题可以直接写 (√6+√2)/4 或者小数近似值。

【免责申明】

本文为三角函数基础推导教学内容，公式与数值按照中学数学标准定义，若涉及竞赛或者高等数学特殊定义请以教材为准，本文不替代正式课程教学。